装订线上海应用技术大学《常微分方程定性与稳定性方法》2023-2024 学年第一学期期末试卷院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、求级数的和。( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 82、计算二重积分∫∫D(x² + y²)dxdy，其中 D 是由 x² + y² = 4 所围成的区域，采用极坐标变换后可得（ ）A.∫₀²πdθ∫₀²r³dr B.∫₀²πdθ∫₀²r²dr C.∫₀²πdθ∫₀⁴r³dr D.∫₀²πdθ∫₀⁴r²dr3、已知曲线 C：x = e^tcos(t)，y = e^tsin(t)，求曲线 C 在 t = π/2 处的切线方程。（ ）A.x = 0，y = e^(π/2) B.x = e^(π/2)，y = 0 C.x = -y + e^(π/2) D.x = y - e^(π/2)4、已知级数，求该级数的和。( )A. 1 B. C. D. 5、有函数，求函数的定义域是什么？（ ）A. B. C. D. 第 1 页，共 4 页装订线6、设函数，求的导数是多少？（ ）A. B. C. D.7、级数的和为（ ）A. B. C. D. 8、已知曲线在某点处的切线方程为，求该点的坐标。（ ）A.(1,1) B.(-1,-3) C.(0,1) D.(2,3)9、设函数，则其单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 10、求函数 f(x,y)=x² - xy + y² + 1 在点(1,1)处的最大方向导数（ ）A.√5；B.2√5；C.3√5；D.4√5二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）1、设，则的导数为____。第 2 页，共 4 页装订线2、设，则，。3、已知函数，则函数的极小值为______________。4、求不定积分的值为______。5、已知函数，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值。三、解答题（本大题共 2 个小题，共 20 分)1、（本题 10 分）已知函数，求函数在点处的切线方程。2、（本题 10 分）求极限。四、证明题（本大题共 2 个小题，共 20 分)1、（本题 10 分）设函数在区间[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：存在，使得。第 3 页，共 4 页装订线2、（本题 10 分）设函数在上连续，且。证明：对于任意的实数，存在，当或者时，有。第 4 页，共 4 页
