装订线北京交通大学《复函与数理方程》2023-2024 学年第一学期期末试卷院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______题号一二三四总分得分批阅人一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、函数的间断点是（ ）A. 和B. C. D. 2、若向量，向量，且向量与向量垂直，则的值是多少？（ ）A.2 B. C. D.-23、已知向量 a=(3,2,1)，向量 b=(1,2,3)，求向量 a 与向量 b 的点积。（ ）A.10 B.11 C.12 D.134、已知级数，判断这个级数的敛散性是什么？（ ）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法确定5、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）A. B. C. 第 1 页，共 4 页装订线D. 6、已知一无穷级数，判断该级数是否收敛？如果收敛，其和是多少？（ ）A. 收敛，和为B. 收敛，和为C. 收敛，和为D. 不收敛7、求函数 f(x,y)=x² - xy + y² + 1 在点(1,1)处的最大方向导数（ ）A.√5；B.2√5；C.3√5；D.4√58、求由曲面 z = x² + y² 和平面 z = 4 所围成的立体体积。（ ）A.8π B.16π C.32π/3 D.64π/39、已知向量，向量，求向量与向量的夹角余弦值是多少？（ ）A.1 B. C. D.10、求曲线在点处的曲率。( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）1、求函数的定义域为____。2、设是由圆周所围成的闭区域，则的值为______。3、设，则的值为______________。第 2 页，共 4 页装订线4、已知函数，求函数在区间上的最大值为____。5、已知空间曲线的参数方程为，，，则曲线在点处的法平面方程为______。三、证明题（本大题共 3 个小题，共 30 分)1、（本题 10 分）设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间内可导，且。证明：存在，使得。2、（本题 10 分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：不存在常数，使得对所有成立。3、（本题 10 分）设函数在[0,1]上连续，在内可导，且，。证明：存在，，使得。四、解答题（本大题共 2 个小题，共 20 分)1、（本题 10 分）已知函数，求函数的单调区间。第 3 页，共 4 页装订线2、（本题 10 分）求函数在区间$[1,4]$上的平均值。第 4 页，共 4 页
