装订线北京大学《高等数学Ⅱ（2）》2023-2024 学年第一学期期末试卷院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知函数，求函数的最小正周期是多少？（ ）A. B. C. D.2、设函数 f(x)=x³ + ax² + bx 在 x = 1 处有极小值 -2，求 a 和 b 的值（ ）A.a=-3，b=3；B.a=-2，b=2；C.a=-1，b=1；D.a=0，b=03、函数的单调递减区间是？（ ）A. 和B. C. 和D. 4、求由曲面 z = x² + y² 和 z = 2 - x² - y² 所围成的立体体积（ ）A.π；B.2π；C.3π/2；D.4π/35、设，则 y'等于（ ）A. B. C. D. 第 1 页，共 4 页装订线6、设函数，则的值是多少？（ ）A. B. C. D.17、有一旋转体是由曲线，直线和以及轴围成的图形绕轴旋转一周而成，求该旋转体的体积是多少？（ ）A. B. C. D. 8、已知函数，则函数的导数是多少？（ ）A. B. C. D.9、求函数在区间上的最大值和最小值。( )A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为 ，最小值为D. 最大值为，最小值为10、已知向量 a=(2,1,-1)，向量 b=(1,-2,1)，求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值。（ ）A.1/6 B.1/3 C.1/2 D.1/4二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．）1、计算定积分的值，利用降幂公式，结果为_________。2、已知向量，向量，向量，则向量，，______________。第 2 页，共 4 页装订线3、已知函数，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值。4、计算不定积分的值为____。5、已知函数，求函数的定义域为____。三、证明题（本大题共 3 个小题，共 30 分)1、（本题 10 分）设函数在[a,b]上可导，且。证明：存在，使得。2、（本题 10 分）设函数在[0,1]上具有二阶导数，且满足，（为常数）。证明：对任意，有。3、（本题 10 分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且。证明：存在，使得。四、解答题（本大题共 2 个小题，共 20 分)第 3 页，共 4 页装订线1、（本题 10 分）已知级数，求该级数的和。2、（本题 10 分）求由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形的面积。第 4 页，共 4 页
